Александр Мичков родился 13 августа 1993 года в Москве. С ранних лет занимался музыкой и джазовыми импровизациями. В 2010 году окончил школу с филологическим уклоном. Будучи подростком, с 2003 года начал играть в спектаклях «Мастерской Петра Фоменко». В 2014 году окончил РАТИ-ГИТИС, мастерская О. Кудряшова. Далее был принят в труппу театра «Мастерская Петра Фоменко».
Получил приз за лучшую мужскую роль в спектакле «Любовные похождения Шевалье де Фобласа» (роль Шевалье). Лауреат театральной премии газеты «Московский комсомолец" 2019 года за роль Шута (в номинации «Лучшая мужская роль второго плана») — спектакль «Король Лир».
Сниматься в кино начал школьником. В 2010 году сыграл главную роль — Диму в детстве — в криминальной драме «Тульский-Токарев» по мотивам одноименного романа Андрея Константинова. В 2014-м сыграл юнкера в художественном фильме Никиты Михалкова «Солнечный удар». За эту работу получил номинацию на премию «Золотой Орел» за роль второго плана. Исполнил роль поэта-дадаиста Тристана Тцары в исторических лентах «Демон революции» и «Ленин. Неизбежность». Заметной стала роль Ионова в «Оптимистах», Василия в «Соборе», Алексея Оленина в историческом военном фильме «Аманат».
